DECIMAL EXPANSION (दशमलव प्रसार)

It is of two types mainly.

1. Terminating Decimal Expansion(शान्त दशमलव प्रसार)

     2.  Non-terminating decimal                                   expansion(अशान्त दशमलव प्रसार )

      

                 Decimal expansions                                    _________________|__________________                 |                                                              |        Terminating                         Non-terminating

(शांत)                                              (अशांत)                  __________________________________|___________ |                                                                             |   non terminating recurring   

 ( अशांत आवर्ती)/ (अनवसानी आवर्ती )              non                                                            terminating                                                             non                                                                           recurring                                                         (अशांत अनावर्ती )/                                               (  अनवसानी अनवर्ती)                                                                                                                                                          

Note (s): 

1). Non -terminating Recurring is also called, non -terminating Repeating 

2).Non-terminating non-recurring is also called, non-terminating non-Repeating 

Examples :

1>  Terminating decimals (शांत दशमलव):-

वैसा दशमलव प्रसार जो दशमलव के कुछ अंकों  बाद रुक जाय , शांत दशमलव प्रसार कहलाता है । जैसे-

0.2  , 0.5 , 0.8 , etc .

ie  0.2 = 2/10 =1/5

      0.5 = 5/10=1/2

       0.8 = 8/10 =4/5

• 2> Non- terminating recurring  ,or 

Non -terminating repeating (अशांत आवर्ती         ,या  अनवसानी आवर्ती):-

वैसा  दशमलव प्रसार  जिसमें दशमलव के बाद(Right side) कुछ अंक बार-बार दुहराता हो या आवर्ती (repeating )  हो , अशान्त आवर्ती या अनवसानी आवर्ती दशामलव प्रसार कहलाता है । 

जैसे -  1/3 =0.333333333.......

                               _                                                                          = 0.3

            2/3=0.66666666........

                                 _                                                                      =     0.6 

            2.444444.....

           2.45 45 45 45 45.....

          2.324 324 324 324 ......etc

3> Non -terminating non- recurring ,or non -terminating non -repeating 

(अशान्त अनावर्ती   या  अनवसानी अनवर्ती ):-

 वैसा दशमलव प्रसार जिसमे दशमलव के बाद (right side ) का अंक न तो शांत( terminating ) हो  औऱ ना ही आवर्ती (repeating/recurring) हो ,  अशान्त या  अनवसानी अनावर्ती  दशमलव प्रसार कहलाता है ।

जैसे - pi π , √2 , √3  ,√5 , √7,  √11 , 

1.12 112 1112 11112....

0.20 200 2000 20000.....

1.01 0011 000111 00001111.....

π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279...............

√2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799

√3=1.7320508075688772935.............

IRRATIONAL NUMBER (अपरिमेय संख्या):-

                          A number is can be neither expressed as a terminating decimal nor as a recurring decimal is called irrational number. 

It is denoted by Q bar .                _                                                                                 Q

             

वैसी संख्याएँ जो ना तो शांत दशमल प्रसार में औऱ ना ही आवर्ती दशमलव प्रसार में  लिखे जा सकते  हों  ,     उन्हें अपरिमेय संख्या कहते हैं ।       

अपरिमेय संख्या को          _                                                                                Q    से  सूचित किया जाता है ।

       

                                  ( Or)

A number which can not be expressed in the form of  p/q , is called an irrational number . Where p and q are integers and q not equal to Zero .

वैसी संख्या जिसे p/ q  के रूप में  नही लिखा जा सकता हो , अपरिमेय संख्या कहलाती हैं 

  Examples :  √2 , √3 , √5  , √7 ,  √11 ,  π  , (exponential)  e =2.718.......       etc.                                          

Important factor: 

1.  परिमेय संख्या (rational no. )का दशमलव प्रसार   शांत terminating ) और अशान्त आवर्ती ( non terminating recurring )  दोनो होते  हैं  ।

2. अपरिमेय संख्या irrational no का दशमलव प्रसार 

अशान्त /अनवसानी  अनावर्ती (non- terminating non- recurring ) होता है ।

3 अपरिमेय संख्या  का  negative (ऋणात्मक) भी  एक अपरिमेय संख्या  ही होता है ।

जैसे -    -√2 ,        - e   etc 

4. एक परिमेय  संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग तथा घटाव  हमेशा  एक  अपरिमेय संख्या होती है ।

ie.  परिमेय +अपरिमेय  =  अपरिमेय 

       परिमेय - अपरिमेय  = अपरिमेय 

        eg. 2+√2  =  अपरिमेय   संख्या             

              2 -√2 =   अपरिमेय   संख्या 

 5. एक  शुनयेत्तर (non -zero ) परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल( multiplication) या  भागफल (division) एक अपरिमेय संख्या होती है ।

eg. 4 × √2 =4√2= अपरिमेय 

      4 ÷ √2 =4 /√2= अपरिमेय 

6. परिमेय + परिमेय = परिमेय 

     परिमेय - परिमेय  = परिमेय 

      परिमेय  × परिमेय  = परिमेय 

Eg. 2+2=4   

       2-2=0

      2×2=4

7. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल  या तो परिमेय संख्या  होगी या अपरिमेय संख्या होगी । यानी दोनो में से कुछ भी हो सकता है । 

अपरिमेय × अपरिमेय = परिमेय या अपरिमेय 

Eg .         √2 ×√2 = 2  = परिमेय संख्या 

                √2 ×√3  =  √6  = अपरिमेय संख्या 

  

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                                           Thank u !